Enquête sur 27 cas présumés de coqueluche : on pourrait toussoter !!!

En mai-juin 2006 27 cas de coqueluche sont apparus dans 2 écoles du midi de la France. C'était suffisant pour déclencher une enquête diligentée par la Cire du Sud (cellule inter-régionale d'épidémiologie). Les résultats viennent d'être publiés par l'InVS. Mais c'est l'enquête elle-même et ses conclusions qui posent de nombreuses interrogations. En particulier :

Les experts, pensant pouvoir évaluer l'efficacité vaccinale sur cette exemple, annoncent -sans rire- un intervalle de confiance compris entre... 0 et  94,9%!!!

Un cas validé après 2 sérologies est affirmé non-vacciné mais est classé vacciné...

L'efficacité du vaccin est estimée à 76% à partir de ces données alors qu'elles sont compatibles avec une efficacité négative !

Descriptif des cas

Commençons par décrire la situation telle que rapportée dans les 24 pages du document en ligne.

13 cas présumés de coqueluche à Monteux 

A Monteux, près de Carpentras, il y a 4 écoles maternelles et primaires attachées au même restaurant scolaire où les enfants se retrouvent. Treize cas de syndrome tussif y ont été signalés et se répartissent ainsi :

3 cas, concernant des enseignantes, à l’école primaire "A" ;

1 cas à l’école maternelle "B" ;

1 cas à l’école primaire "C" ;

8 cas à l’école maternelle "D".

  Pour l’une des enseignantes de l’école primaire "A", le diagnostic avait été confirmé par sérologie selon son médecin. Elle aurait été contaminée par son fils, un collégien âgé de 13 ans, qui a présenté une toux persistante en mai 2006. Celui-ci était vacciné contre la coqueluche et avait eu son dernier rappel à l’âge de 11 ans. Selon le médecin traitant, le diagnostic de coqueluche était confirmé par sérologie le 15 mai.

Pour ces deux cas, les résultats des sérologies déclarées positives ont été vérifiées ultérieurement : pour le collégien, la sérologie était ininterprétable en raison du délai du dernier rappel vaccinal qui datait de moins de 3 ans, "les anticorps naturels ne pouvant être différenciés des anticorps acquis par une vaccination". Pour la mère enseignante, le résultat de la sérologie s’est révélé négatif (anticorps Anti-PT négatifs).

Les 8 cas identifiés dans l'école D présentaient une toux qui a duré entre 3 et 21 jours. Si la toux était insomniante et nocturne pour 4 cas, avec une reprise inspiratoire difficile pour 3 d’entre eux et même des accès de cyanose pour un cas, aucun n’a présenté un chant du coq. Finalement, seuls 3 cas avaient une toux pouvant être considérée comme "évocatrice" et, pour 2 d’entre eux, d’une durée de 5 jours.

Trois de ces cas, vaccinés contre la coqueluche, ont fait l'objet de vérifications sérologiques : pour 2 cas  la sérologie prescrite par le médecin traitant était positive; il fut décidé de les vérifier par un nouveau test et de réinterpréter les tests " en fonction de la date de la dernière injection anticoquelucheuse ". L'une d'elle sera  négative, l'autre " n'a pas été communiquée à la Cire du Sud ". Le troisième cas a été vérifié tardivement et était négatif.

La conclusion sera  «qu'en définitive on ne peut certifier qu'il y ait eu circulation de Bordetella pertussis à l'école maternelle " D " de Monteux ». Autrement dit, les experts considèrent que cette épisode tussif vraisemblablement contagieux n'était pas dû à la coqueluche.

14 cas présumés de coqueluche à Montfavet

A Montfavet, près d'Avignon, une seule école a été touchée. Elle accueille des élèves de niveau maternelle et primaire, mais ceux-ci sont séparés et ne se fréquentent pas. Seule l’école primaire a été touchée.

Le cas index était un garçon scolarisé en classe de CM2 non vacciné contre la coqueluche. Revenant d'un camp scout durant les vacances de Pâques, il a présenté une toux persistante s’aggravant progressivement. La toux était à prédominance nocturne et sans fièvre. Il a continué à fréquenter l’école par intermittence durant tout le mois de mai. La coqueluche a été diagnostiquée avec une sérologie positive. L’éviction scolaire n’a été effective que la semaine suivante

Son petit frère en classe de CP  et non vacciné contre la coqueluche, a présenté lui aussi une toux apparue quelques jours après celle de son frère. L’enfant a continué d’aller à l’école et n’a pas été traité par antibiotique. Aucune sérologie n’a été réalisée. Dans les semaines suivantes, 12 nouveaux cas sont apparus dans l'école, dans les classes de CM2 et CM1

Les 14 cas étaient âgés de 6 ans à 11 ans. Neuf cas étaient des filles. Neuf cas avaient une toux pouvant être considérée comme “évocatrice” et, pour 3 d’entre eux, celle-ci a duré moins de 14 jours. Dix cas ont été traités par un antibiotique recommandé dans le traitement de la coqueluche, 3 n’ont reçu aucun traitement et un a été traité par homéopathie.

Sept sérologies avaient été déclarées positives lors de l’investigation :

1- Pour 4 cas, les résultats de laboratoire n’ont pas été communiqués à la Cire Sud qui n'a donc pas pu les vérifier.

2- Pour les 3 autres cas, une sérologie  était positive chez un enfant sans antécédent de vaccination anticoquelucheuse. Les deux autres avaient fait l’objet d’une mauvaise interprétation et étaient finalement négatives. 

En définitive, 7 cas de coqueluche ont été retenus parmi les 14 cas initiaux dont 4 vaccinés, dont tous les cas en CM2 (5) et 2 en CM1 où il y eu 6 cas. Le cas en CP et les 2 cas en CE1 ont été exclus.

Constats et Commentaires

Ce descriptif va maintenant permettre de faire des constats et d'alimenter des commentaires sur les difficultés d'une telle enquête, certaines limites de la vaccination , les incohérences et parti-pris de la  rédaction.

Interrogations sur la propagation

Le cas initial du scout a été retenu comme coqueluche mais pas son frère qui a débuté sa toux quelques jours après lui. Un autre élève de CM2 a été aussi classé coqueluche alors que sa sœur, qui a débuté sa toux une semaine après, a été  exclue des cas. Les 14 cas sont apparus entre le début du mois de mai et la fin juin. Ils ont d'abord atteint la classe de CM2, puis, fin mai, un cas en CM1 suivi d'autres cas en CM1 jusqu'à fin juin. Le premier cas a été classé coqueluche ainsi qu'un cas apparu fin juin.

Il faudrait donc admettre qu'au moins 2 bactéries différentes auraient circulé presque simultanément dans cette école et tout particulièrement au sein de la classe de CM1 en juin 2006. Il n'y avait qu'une seule classe par niveau avec des effectifs de l'ordre de 24 élèves. Les cas de coqueluche et autres ont même été quasi simultanés fin juin en CM1 pour 5 des 6 cas de cette classe.  On peut aussi dire que la classe de CM2 a été touchée en premier en mai puis relayée par celle de CM1 en juin.

Il est certain que sans les données biologiques on penserait à une continuité de la propagation. Mais les experts admettent que

« d’autres bactéries de la famille des Bordetella peuvent provoquer chez l’homme des syndromes coquelucheux, comme B. parapertussis, qui est à l’origine de coqueluches plus bénignes, ou B. bronchiseptia. Parmi les anticorps recherchés, seuls les anticorps antitoxine de pertussis (anti-PT) sont spécifiques de Bordetella pertussis, les autres antigènes étant communs à Bordetella parapertussis et bronchiseptica. Outre Bordetella pertussis, Bordetella bronchiseptica, un VRS, ou même une bactérie sensible aux macrolides telle que Mycoplasma pneumoniae ou une Chlamydiae pneumoniae ont également été évoqués comme éventuels agents infectieux responsables de cet épisode. »

Les limites du vaccin

Le vaccin est donc sans effet sur ces autres agents infectieux qui déclenchent pourtant des troubles aussi désagréables et prolongés que la bactérie de la coqueluche : un enfant classé sans coqueluche a toussé pendant plus de 23 jours et a été traité à la Josacine qui, comme tout antibiotique, peut avoir des effets secondaires.

Cela donne des limites au vaccin : par analogie avec la polio pour laquelle il existe les types 1, 2 et 3, tout semble se passer comme s'il existait des coqueluches de type 1, 2, 3...et que le vaccin ne soit efficace que contre le type 1 ce qui en limite l'intérêt.

On constate aussi la difficulté à définir les " vrais" cas de coqueluche. Aussi, on peut se demander rétrospectivement si l'efficacité du vaccin a toujours été bien évaluée.

Dans une étude de l'InVS (Surveillance de la coqueluche à l'hôpital en 2000) les auteurs reconnaissent que

« L’augmentation du nombre des cas chez les enfants vaccinés rend nécessaire l’évaluation de la durée de protection vaccinale lors des investigations de cas groupés. »

On constate aussi qu'aucune raison ne semble avoir été recherchée pour expliquer pourquoi 6 enfants n'avaient pas été vaccinés contre la coqueluche dans la classe de CM2. Le vaccin est souvent source de complications et il est possible que certains de ces enfants avaient des contre-indications médicales à ce vaccin.

Les 3 cas de CM2 auraient-ils pu être évités par la vaccination ?

Le vaccin n'est pas efficace à 100% c'est certain et cela s'est vérifié dans cette même classe, mais il faudrait ajouter à cela le fait que tous les enfants ne sont pas vaccinables. Admettons que seulement 90% des enfants soient vaccinables et que le vaccin soit efficace à 70% parmi eux, son efficacité globale sera seulement de 63%. Les experts n'étudient jamais cet aspect du problème qui est pourtant très important.

D'abord séropositifs  les vaccinés deviennent négatifs !

A première vue, la sérologie paraît être la clé du problème pour distinguer les faux cas de coqueluche des vrais mais l'affaire se complique singulièrement quand on apprend que

« l’interprétation est délicate car la sérologie est ininterprétable lorsque la vaccination date de moins de 3 ans ».

Autrement dit, tout cas suspect de coqueluche apparaissant dans les 3 années qui suivent une injection vaccinale ne pourra être confirmé coqueluche par une sérologie. C'est ce qu'on constate dans cette enquête épidémiologique menée à Monteux et Montfavet : sur 12 cas présumés de coqueluche ayant été testés séropositifs selon les médecins traitants et vérifiés de la même manière au cours de l'enquête, on constate que

1- pour 3 vaccinés à Monteux, les tests sérologiques ont été déclarés ininterprétables.

  2- pour 2 vaccinés à Montfavet les tests de sérologie de contrôle ont été déclarés négatifs.

Il faut cependant noter que l'un d'eux a été classé avec coqueluche et l'autre sans.

  3- seul un non-vacciné de Montfavet a été confirmé positif mais... il était vacciné !!!

J'ai noté une incohérence à propos de ce cas qui est le SEUL vérifié positif par une sérologie et qui appartient à la classe de CM1. Or, il est mentionné à 2 reprises qu'il n'y avait aucun cas non vacciné en CM1, en particulier dans le tableau 10 alors qu'il est écrit explicitement page 13 :

« Sept sérologies avaient été déclarées positives lors de l’investigation. Pour 4 cas, les résultats de laboratoire n’ont pas pu être obtenus et n’ont donc pas pu être vérifiés par la Cire Sud. Trois ont pu être vérifiées et une était positive chez un enfant sans antécédent de vaccination anticoquelucheuse. Les deux autres avaient fait l’objet d’une mauvaise interprétation et étaient finalement négatives (tableau 5). »

Or le tableau 5  indique sans ambiguïté que cet enfant est en CM1 et qu'il y a seulement 2 cas en CM1 alors que le tableau 10 indique tout aussi clairement qu'il n'y a aucun cas non vacciné en CM1 et 2 cas vaccinés dans cette classe. Selon ces indications, le cas confirmé positif par sérologie était forcément vacciné. De plus, à la page 14 le texte  confirme :

« L’efficacité vaccinale n’a pu être estimée que dans la classe de CM2 : elle est de 76,5 %. Dans les autres classes, l’efficacité vaccinale n’a pu être calculée spécifiquement en l’absence de cas non vaccinés. »

  4- Les résultats de 5 tests de sérologie n'ont pas été communiqués à la Cire du Sud (1 à Monteux, 4 à Montfavet).

Ce dernier fait est assez incroyable  : la Cire  qui avait organisé et piloté l'enquête aurait été incapable d'obtenir les résultats des analyses qu'elle avait commandé ! Ce n'est pas que les délais auraient été trop courts : l'affaire a eu lieu en mai-juin 2006 et la publication de l'étude en octobre 2008...Si notre administration et notre système de santé fonctionnent ainsi il est grand temps de les réformer !

Sur les 6 cas de coqueluche à Montfavet non confirmés (ou ne pouvant être confirmés) par la sérologie, 4 étaient néanmoins vaccinés selon les normes du calendrier vaccinal (4 injections) et 2 non ou incomplètement vaccinés.

Un cas traité à l'homéopathie

Ce malade, soigné par les petits granules, a toussé pendant 33 jours alors que d'autres du même âge, traités avec des antibiotiques, ont toussé pendant plus de 30 jours, 35 jours ou même plus de 40 jours avec parmi eux au moins un enfant vacciné puisqu'il n'y a que 2 cas non vaccinés en dehors du cas initial non vacciné  qui a toussé 38 jours bien que soigné avec un antibiotique. Les experts considèrent cependant que l'enfant traité à l'homéopathie a été soigné d'une façon inadaptée.

Ajoutons à ce sujet que l'étude de 25 pages comporte de nombreux tableaux récapitulatifs des descriptifs des cas mais qu'ils ne mentionnent pas quels sont les vaccinés parmi eux alors qu'un simple astérisque  suffisait...C'est assez regrettable. Ont-ils peur d'avoir à reconnaître  que celui qui  a toussé pendant plus de 40 jours et avait été traité par un antibiotique était en plus vacciné ?

Intervalle de confiance ou intervalle de méfiance ?

Le tableau 10 va plus loin encore en proposant  des intervalles de confiance à 95% : pour la classe de CM2 il s'étale généreusement entre 0  et 94,9% et pour l'ensemble des classes il va de 0  à 91,8% ! Que penserait-on d'un institut de sondage qui annoncerait la victoire de Nicolas Sarkozy à l'élection présidentielle avec 76% des voix mais avec une fourchette entre 0 et 95% ? On interprète communément l'intervalle de confiance comme donnant une localisation probable de la valeur cherchée*  mais la première information fournie par l'intervalle porte sur la qualité de cette localisation : s'il est très large cela signifie que la mesure est sans valeur et qu'il vaut mieux s'abstenir de proposer une estimation comme le confirme le test qualitatif du Khi2 appliqué à ces données :

Par le test du Khi2

 Pour la classe de CM2 les données sont les suivantes :

Classe de CM2	Cas	Non malades	Sommes
Vaccinés	2	15	17
Non Vaccinés	3	3	6
Sommes	5	18	23

Le khi2 calculé sur ces données est 3,8 que l'on teste par une loi du Khi2 à 1 degré de liberté. La probabilité de dépasser 3,8 sous l'hypothèse "nulle" (même risque pour les vaccinés et les non-vaccinés) est 5,09% qui est à la limite de signification à 5%. Mais ce test est-il valide ici compte tenu des effectifs très faibles ?

On apprécie cela en multipliant le nombre le plus faible de la ligne des sommes par son correspondant dans la colonne des sommes puis on divise par le total, soit ici 5x6/23=1,3. La validité du test est considérée comme acceptable quand ce nombre est assez grand, 8 ou 10, à la rigueur 5. Le test n'est donc pas valide ici.

Cela ne s'arrange pas en cumulant les données sur l'ensemble des classes. On a alors le tableau :

Toutes classes	Cas	Non malades	Sommes
Vaccinés	4	71	75
Non vaccinés	3	16	19
Sommes	7	87	94

Le khi2 vaut  2,40 qui correspond à une probabilité de dépassement de cette valeur de 12,1% et le critère de validité du test est mesuré par 7x19/94=1,4. Le test n'est donc pas valide et s'il l'était il ne serait pas du tout significatif, la probabilité de 12,1% étant beaucoup trop grande.

• Pour la définition de l'intervalle de confiance à 95% on pense souvent qu'il signifie qu'il y a 95% de chances pour que la valeur cherchée soit comprise entre les 2 bornes trouvées. C'est un contre-sens car la valeur cherchée est un nombre bien défini même s'il est inconnu. Cette interprétation conduirait à soutenir qu'il y a par exemple 95% de chances pour que 22 soit entre 15 et 40. Le fait que 22 soit inconnu ne change rien à l'affaire.

• La bonne définition est qu'il y a 95% de chances de trouver des valeurs observées qui donneront un intervalle de confiance contenant la valeur cherchée. Il devient ainsi possible d'avoir plusieurs notions d'intervalles de confiance qui donneront des bornes pouvant être très différentes comme on le constate avec les lois normales et de Student pour les intervalles de confiance d'une moyenne à partir d'un échantillon.

Des effectifs beaucoup trop faibles

Chacun acceptera sans doute assez facilement que les effectifs nécessaires pour mettre en œuvre le test purement qualitatif du Khi2 sont évidemment plus faibles que si on cherche une appréciation quantifiée valable mesurant un taux d'efficacité vaccinale. Le mode de calcul utilisé par le logiciel EPI INFO fait certainement référence, d'une façon ou d'une autre, à une approximation par une loi normale* comme le test du Khi2 que j'ai utilisé et qui, pour 1 degré de liberté, est le carré d'une loi normale. Il est donc fort douteux que le calcul de l'intervalle de confiance soit valable ici alors que le test du Khi2, forcément beaucoup moins exigeant, ne peut être utilisé.

Les experts sont pourtant conscients de la nécessité de disposer d'effectifs suffisants puisqu'ils écrivent

« L’estimation de l’efficacité vaccinale sur le terrain nécessite un taux d’attaque suffisamment élevé pour pouvoir traduire un degré d’exposition homogène dans la communauté. »

Mais ils ne semblent pas avoir conscience que 2 ou 3 cas ce n'est pas vraiment suffisant pour assurer cela parmi 17 ou 6 personnes. Cette attitude vient sans doute, pour une bonne part, du fait que nous sommes de très mauvais générateurs de hasard : si on demande à une centaine de personnes, sans faire l'expérience, de donner spontanément un nombre de piles qui pourrait être obtenu en lançant 100 fois une pièce équilibrée, les résultats seront généralement trop concentrés autour de 50. Le hasard disperse beaucoup plus que nous ne l'imaginons généralement. Les générateurs de nombres au hasard des ordinateurs et calculatrices ont le même défaut que nous les humains.

On peut montrer par des calculs de probabilités (en modélisant par une loi binomiale) que 2 cas parmi 17 et 3 cas parmi 6 sont compatibles avec un risque identique dans les 2 groupes : un risque théorique de 0,25 donne 1,5 cas attendus parmi 6 et une probabilité de 16,37%   d'avoir au moins 3 cas. La même probabilité de 0,25 donne une moyenne de 4,25 cas parmi 17 avec une probabilité de 16,95% d'avoir au plus 2 cas. 

Les résultats annoncés sont donc parfaitement compatibles avec une absence de différence de risque entre les vaccinés et les non-vaccinés.

Ce résultat est en accord avec le fait que les intervalles de confiance calculés par les experts contiennent  la valeur zéro. Je dis bien contiennent : comme la valeur 0,25 correspond à une probabilité supérieure à 16% on pourrait avoir une "efficacité négative" comme par exemple un risque de 0,24 chez les non-vaccinés (qui donne 15,39% d'avoir au moins 3 cas) et de 0,25 chez les vaccinés (16,95% d'avoir au plus 2 cas).

Comme 0,1695x0,1539= 2,61% >2,5% on peut affirmer que l'intervalle  de confiance à 95% proposé à partir de l'ensemble des cas  devraient inclure des valeurs négatives : -4,1% avec ces valeurs, car 1-0,25/0,24= -4,17% mais on peut avoir encore moins.

Soit les bornes de cet intervalle ont été mal calculées en raison de données trop faibles, soit les valeurs négatives ont été tronquées par le logiciel ou par les rédacteurs de l'étude.  C'est une certitude.

Cela ne veut pas dire que le vaccin n'aurait aucune efficacité mais seulement que sur cette expérience il est impossible de la mettre en évidence, ce qui devrait crever les yeux dès le départ compte tenu des effectifs très faibles.

Il n'est pas raisonnable de prétendre calculer une efficacité d'un vaccin sur une expérience qui ne la met pas en évidence d'une façon un tant soit peu significative. 

Imaginons un instant la situation inverse : 17 non-vaccinés dont 2 cas, contre 6 vaccinés dont 3 cas et que ces valeurs soient utilisées pour suggérer que le vaccin favoriserait la coqueluche. Les critiques fuseraient de toutes parts (Afssaps, Commission nationale de pharmacovigilance, HCSP et CTV, Académie de médecins, OMS...) pour fustiger la méthodologie irrecevable de l'étude...Toute ressemblance avec une situation réelle ne serait que pure coïncidence...Mais suivez mon regard...Mais oui, mais c'est...bien sûr...la vaccination hépatite B !

* Un article pédagogique sur la loi normale

Efficacité vaccinale : une formule biaisée

Nos experts sont-ils conscients que la formule utilisée pour le calcul du taux d'efficacité comporte un biais et que le mode de calcul lui-même nécessite des effectifs suffisants bien supérieurs à ceux dont ils disposent ici ?

La formule de calcul du taux d'efficacité et son biais

Pour préciser le problème posé il faut d'abord s'intéresser à la formule de calcul de ce taux. Elle est proposée en préambule de cette enquête (page 8), à savoir 1-TaV/TaNv avec :

  - TaNv taux d'attaque chez les non-vaccinés qui est 3/6 (ou 3/19 );

  - TaV  taux d'attaque chez les vaccinés qui est 2/17 (ou 4/75).

On obtient ainsi les valeurs 76,5% et 66,2% annoncées.

TaV est une variable aléatoire X/17 où X donne le nombre de cas chez les vaccinés. De même, TaNv est la variable aléatoire Y/6 où Y donne le nombre de cas chez les non-vaccinés. Ainsi, l'efficacité vaccinale cherchée est l'espérance* E(Z) de la variable aléatoire Z=1-6X/17Y.  On a E(Z)=1-6E(X/Y)/17. Pour obtenir un intervalle de confiance pour E(Z) il suffit de le rechercher pour E(X/Y) ce qui demande de gérer le type de loi de probabilité de X/Y.

On peut admettre que X suit une loi binomiale de paramètres 17 et p, p étant une probabilité inconnue. De même pour Y qui suivra aussi une loi binomiale de paramètres 6 et q, q inconnu.  Comme il est impossible de définir le type de loi de probabilité de X/Y il faut,  pour traiter quand même la question, soit essayer des valeurs de p et q comme je l'ai fait plus haut, soit accepter des approximations faisant appel à la loi normale mais dont la validité sera certainement ici très contestable  en raison des effectifs particulièrement faibles.

De plus, on cherche en réalité à évaluer p/q ou, ce qui revient au même, 1-6p/17q,  mais la variable aléatoire Z n'a pas cette valeur pour espérance, autrement dit Z n'est pas un estimateur du taux d'efficacité vaccinale. Il y a un biais qui vient du fait que E(X/Y), qui est égale à E(X)E(1/Y),  est différent de E(X)/E(Y) car E(1/Y) n'est pas égale à 1/E(Y).

Aussi, Z va donner une estimation biaisée du taux d'efficacité du vaccin.

* L'espérance d'une variable aléatoire est sa moyenne théorique.

Mais pourquoi s'intéresser à p/q plutôt que de comparer directement p et q ?

Par la division on gomme la probabilité Ps d'être contaminé et sans résistance naturelle (ce qu'on nomme les cas susceptibles). En effet, p et q sont les produits de cette probabilité par la probabilité  de tomber malade pour un cas susceptible  (Pv pour un vacciné, Pnv pour un non-vacciné). On cherche à comparer Pv et Pnv qu'on ne connaît pas mais  comme p=PvPs et q=PnvPs le rapport p/q sera alors égal à Pv/Pnv. C'est pourquoi il est essentiel que la probabilité d'être un cas susceptible soit la même dans les 2 groupes.

On ne peut en effet avoir des estimations de Pv et Pnv mais comme X/17 et Y/6 donnent des estimations observées de p et de q il devient possible de les comparer statistiquement  en s'appuyant sur les valeurs observées.

Cependant, il est tout à fait possible de faire une comparaison directe par les tests classiques en comparant les intervalles de confiance de p et q. Comme on l'a vu plus haut ils ont des valeurs communes comme 0,25 et 0,24 qui indiquent qu'on peut avoir q<p.

Cependant, il y en a beaucoup plus : de façon plus précise ces 2 intervalles de confiance à 95% ont en commun l'intervalle [11,812%  36,44%] et 11,812 est très proche de la valeur observée 2/17=11,765 qui est donc pratiquement compatible*, au niveau 5%, avec le fait d'avoir eu 3 cas chez les non-vaccinés.

* Plus de 2,47% pour la probabilité du test alors qu'il faudrait 2,5% pour accepter et que la barrière est arbitraire, juste pour faire un compte rond.

Les calculs que j'ai effectué sont précis et pourraient l'être plus encore (c'est inutile) et surtout reposent sur des hypothèses minimales : à savoir, que les lois de probabilités de X et Y suivent des lois binomiales, c'est tout. La conclusion devrait être  sans aucune ambiguïté : il n'y a rien à tirer de cette observation faite sur la classe de CM2 de Montfavet en terme d'efficacité du vaccin, ni dans un sens ni dans l'autre. Quand on a fait ce constat il est vraiment inutile de s'embêter avec "l'impossible" loi de probabilité de X/Y.

Comment, dans ces conditions, est-il possible de calculer SUR la classe de CM2 un taux d'efficacité de 76,5% alors que rien ne permet d'affirmer une quelconque différence un tant soit peu significative entre les vaccinés et les non-vaccinés ?

76,5% d'efficacité du vaccin dans le CM2 de Montfavet ?

C'est ce qui est affirmé mais où en sont les preuves ? Comment a été obtenu un tel résultat ? C'est simple : 3 enfants non-vaccinés sur 6 ayant fait une coqueluche les experts en déduisent d'abord que  parmi ces 6 enfants, supposés tous susceptibles car non-vaccinés, la moitié avait été contaminée. On peut tout à fait accepter cela car la résistance spontanée à la coqueluche est probablement pratiquement nulle chez des enfants. Dans un second temps ils acceptent que la même proportion a été contaminée parmi les 17 vaccinés, soit 8,5. Comme il n'y a eu que 2 cas on obtient le taux d'efficacité 6,5/8,5=76,47%

C'est simple, trop simple car personne ne sait combien d'enfants avaient réellement été contaminés, aucun test biologique n'ayant été utilisé pour cela, s'il en existe. On pourrait en effet envisager de tester les 15 enfants vaccinés non malades pour savoir s'ils avaient pu être contaminés. Cela n'est pas actuellement possible ou n'a pas été fait. En l'absence d'une telle étude on ne sait rien* et il faut avoir le courage de le dire. Le nombre de cas évités par le vaccin peut varier de 0 à 15, soit une "efficacité utile" entre 0 et 88%

Il faut distinguer "l'efficacité utile", portant sur les enfants réellement contaminés, de l'efficacité acquise par la vaccination, c'est à dire ceux qui éviteraient la maladie s'ils étaient contaminés, et qui peut être plus élevée.

Ainsi, il pouvait y avoir 15 enfants sur 17 protégés par le vaccin mais qui pouvaient ne pas avoir été contaminés, seuls les 2 enfants non protégés ayant été contaminés. Ce serait la faute à pas de chance mais c'est possible. En pareil cas l'efficacité utile serait nulle alors que l'efficacité du vaccin sur la classe  serait de 88%.

Tout ceci pour faire réaliser qu'il n'est pas valable d'annoncer une efficacité de 76,5%, c'est à dire que le vaccin aurait évité la maladie à 6,5 enfants, ce qui est un peu ridicule car il ne s'agit pas d'une moyenne.

* Analogie avec un vote pour un référendum : dans une commune, un bureau de vote  avec 17 inscrits  avait enregistré 2 non, mais, dans l'ignorance du  nombre de votants,  un institut  de sondage s'appuie sur un autre bureau de vote de la commune où il pense qu'il y a eu 3 votants parmi les 6 inscrits. Il se croit alors fondé à dire qu'il y a eu 8,5 votants parmi les 17 inscrits et donc 6,5 oui parmi eux, soit 76,5% de oui !!! S'appuyant sur cela il va même jusqu'à calculer un intervalle de confiance sur le résultat national du référendum !!!

S'ils procédaient ainsi, nos instituts de sondage nous auraient offert de joyeuses rigolades les soirs d'élections quand leurs annonces seraient confrontées aux résultats définitifs, et ils auraient fait faillite depuis longtemps ...

Un problème de communication

On peut cependant annoncer l'intervalle de confiance [0  94,9%] qui devrait provoquer aussitôt l'hilarité générale. C'est l'annonce de la valeur 76,5% qui évite le ridicule en orientant vers une valeur élevée qui paraît parfaitement assurée puisque portant sur un groupe très réduit de 23 personnes sur lequel on pense tout savoir * alors qu'en réalité on peut seulement dire que "l'efficacité utile" du vaccin dans la classe de CM2 de Montfavet a été comprise entre 0 et 88%, sans aucune indication sur l'efficacité réelle du vaccin sur les 15 enfants non-malades et vaccinés .

* Dans le cas d'une élection cela correspond aux résultats observés dans une urne où on sait exactement combien il y a de oui et de non, ce qui permet d'annoncer un pourcentage observé "vrai" alors qu'ici il est issu d'une hypothèse sur le nombre de contaminés.

On peut alors se demander comment la formule peut donner un taux d'efficacité aussi élevé que 76,5. Il s'obtient par 1-(2/17)/(3/6) qui sera grand si le numérateur (ici 2/17) est faible et le dénominateur grand (ici 3/6). Supposons que seuls les malades aient été contaminés, "l'efficacité utile" du vaccin dans cette classe aura été nulle. Mais plus il y aura d'élèves vaccinés et moins il y en aura de non-vaccinés et plus le taux d'efficacité calculé du vaccin sera élevé. Si on remplace 17 par 19 et 6 par 4 (en conservant l'effectif global), le taux d'efficacité calculée passe à 85,96% alors que le vaccin n'a servi à rien (ce qui ne veut pas dire qu'il n'est pas efficace mais seulement que ceux qu'il protégeait n'ont pas été contaminés).

On peut aussi contester l'application de la formule aux 3 cas non vaccinés car le contaminant initial étant parmi eux et s'étant contaminé à l'extérieur de la classe, il devrait être exclu pour évaluer l'homogénéité des contaminations au sein de celle-ci, ce qui est essentiel pour utiliser la formule. Pour le comprendre remplaçons le contaminant initial par un appareil pulsant  de temps en temps des bacilles de la coqueluche dans un coin de la classe. Personne ne classerait l'appareil dans un des 2 groupes !

On peut en donner une démonstration plus théorique : la probabilité d'être contaminé doit être la même pour tous les enfants au sein de la classe. Or le contaminant initial l'étant déjà il ne peut avoir la même probabilité  que les autres.

Ainsi, on devrait travailler avec seulement 2 contaminés parmi les 5 enfants non-vaccinés contre 2 parmi  les 17 vaccinés. Cela donne un intervalle de confiance à 95% entre -92,5% et 95,6%...

Efficacité chez les vaccinés et efficacité globale réelle

Tous les enfants ne sont pas vaccinables : le vaccin étant assez dangereux il doit être évité sur certains. Il n'est donc pas logique de classer comme victimes d'un défaut de vaccination tous ceux qui n'ont pas été vaccinés et ont fait la maladie. La coqueluche peut être grave mais quand le vaccin provoque des complications neurologiques...

Supposons que 90% des enfants soient vaccinables et que le vaccin soit efficace à 70% sur ceux-ci, l'efficacité globale sera alors seulement de 63% et c'est cette efficacité qui devrait être prise en compte. Les études ne cherchent jamais à s'interroger sur les raisons de l'absence de vaccination qui n'est pas toujours le refus ou la négligence.

En conclusion, était-il vraiment opportun de proposer des taux d'efficacité et des intervalles de confiance pour ces taux dans de telles conditions ? Leur largeur énorme les rend sans intérêt, c'est même un peu ridicule. Et pourquoi cette manie de vouloir à tout prix donner des taux d'efficacité ?